Esercizi sul lavoro e l’energia

Ecco disponibile la raccolta di esercizi svolti su energia e lavoro, grandezze fisiche centrali della dinamica e di grande importanza in tutte le branche della fisica moderna.
Grazie a queste siamo in grado di descrivere come il mondo che ci circonda si muove, si trasforma, e come i suoi elementi interagiscono tra loro.

In questa raccolta di esercizi studieremo i concetti di lavoro ed energia e vedremo come queste grandezze si manifestano e si interconnettono, anche attraverso oggetti già noti delle precedenti raccolte quali molle e piani inclinati.

Esploreremo anche le diverse forme di energia e come queste si trasformano l’una nell’altra, rispettando il principio di conservazione dell’energia. Dall’energia cinetica all’energia potenziale e viceversa, avrete modo di osservare come l’energia fluisca e si trasformi in varie forme durante le interazioni fisiche.

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Esercizi svolti sul lavoro e l’energia

1

Sul calcolo del lavoro – Caso 1

Una cassa viene spinta per un tratto $s = 100 \ m$ da una forza di intensità $F = 10 \ N$ , come mostrato in figura

esercizio sul lavoro

Calcola il lavoro compiuto sulla cassa

[ $\mathcal{L} = 10,0 \cdot 10^2 \ J$ ]

2

Sul calcolo del lavoro – Caso 2

Una cassa viene spinta per un tratto $s = 100 \ m$ da una forza di intensità $F = 10,0 \ N$ che forma un angolo $\theta = 30^\circ$ con l’orizzontale, come mostrato in figura

esercizio sul lavoro con forza con angolo

Calcola il lavoro compiuto sulla cassa

[ $\mathcal{L} = 8,66 \cdot 10^2 \ J$ ]

3

Sul calcolo dell’energia cinetica

Una cassa di massa $m = 10 \ kg$ viaggia con velocità $v = 25 \ m/s$

Calcola la sua energia cinetica

[ $K = 3,1 \cdot 10^3 \ J$ ]

4

Sul calcolo del lavoro ed il teorema delle forze vive

Una macchina di massa $m = 5,0 \ kg$ passa da una velocità iniziale $v_i = 4,0 \ m/s$ ad una velocità finale $v_f = 2,0 \ m/s$ per effetto dell’azione dei freni

Calcola il lavoro compiuto dai freni

[ $\mathcal{L} = -30 \ J$ ]

5

Sul calcolo del lavoro per una macchina in frenata

Una macchina di massa $m = 98 \ kg$ viaggia con velocità iniziale $v_0 = 20 \ m/s$ diretta come in figura. Ad un certo istante frena per $t = 9,4 \ s$ percorrendo nel frattempo una distanza $s = 28 \ m$

esercizio sul lavoro in frenata

Calcola il lavoro compiuto dai freni

[ $\mathcal{L} = 9,8 \cdot 10^3 \ J$ ]

6

Sull’energia potenziale gravitazionale

Un tuffatore di massa $m = 70 \ kg$ si trova su un trampolino alto $h = 27 \ m$ rispetto alla piscina

Calcola l’energia potenziale gravitazionale del tuffatore

[ $U = 1,9 \cdot 10^4 \ J$ ]

7

Sull’energia potenziale elastica

Una molla compressa di $x = 2,5 \ cm$ rispetto alla posizione di equilibrio immagazzina un’energia potenziale elastica pari a $U = 1,5 \ J$

Calcola la costante elastica della molla

[ $k = 4,8 \cdot 10^3 \ N/m$

8

Sulla conservazione dell’energia meccanica

Una cassa di massa $m = 1,5 \ kg$ , inizialmente ferma, cade da un’altezza di $h = 5,0 \ m$

energia potenziale forza peso

Calcola la velocità con cui la cassa arriva ad una distanza $z = 2,0 \ m$

[ $v_f = 7,7 \ m/s$ ]

9

Sull’energia meccanica e le forze non conservative

Una cassa di massa $m = 2,5 \ kg$ viene lanciata dalla base di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ con velocità iniziale $v_i = 5,0 \ m/s$ . Tra la cassa ed il piano inclinato è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_d = 0,3$

piano inclinato e forze non conservative

Calcola a che altezza $h$ si ferma la cassa

[ $h_f = 0,84 \ m$ ]

10

Sull’energia meccanica ed il lavoro

Un panno di massa $m = 500 \ g$ cade da un balcone che si trova ad altezza $h = 25 \ m$ dal suolo. Nel momento in cui tocca terra ha una velocità $v_f = 2,1 \ m/s$

Calcola il lavoro compiuto dalla resistenza dell’aria

[ $\mathcal{L}_{nc} = -1,2 \cdot 10^2 \ J$ ]

11

Sulla molla e l’energia potenziale elastica

Una molla di costante elastica $k = 5,6 \cdot 10^3 \ N/m$ è compressa di una quantità $x$ rispetto alla posizione di equilibrio. Una cassa di massa $m = 1,5 \ kg$ è a contatto con la molla, come mostrato in figura. Tra la cassa e la molla è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d = 0,2$ . All’istante iniziale la cassa viene lasciata andare:

Calcola il valore della compressione $x$ tale che la cassa raggiunga il punto $A$ distante $d = 50 \ cm$

[ $x = 2,3 \ cm$ ]

12

Sull’energia potenziale ed il lavoro

Una pallina di massa $m = 0,6 \ kg$ viene lanciata in aria da un’altezza iniziale $h_i = 1,3 \ m$ e raggiunge un’altezza finale $h_f = 15 \ m$

Calcola il lavoro compiuto dalla forza di gravità

[ $\mathcal{L} = -81 \ J$ ]

13

Sulla molla e l’energia potenziale gravitazionale

Una pallina di massa $m$ è collegata ad una molla di costante elastica $k$ che oscilla di moto armonico con pulsazione $\omega = 1,2 \ rad/s$ . Durante le oscillazioni l’altezza della pallina varia di $\Delta h = 10 \ cm$ e la sua energia potenziale gravitazionale varia di $\Delta U = 15 \ J$

Calcola la costante elastica della molla $k$

[ $k = 22 \ N$ ]

14

Sulla conservazione della quantità di moto e dell’energia – L’urto elastico

Una palla da biliardo bianca di massa $m_1 = 1,1 \ kg$ si muove con velocità iniziale $v_{1,i} = 2,4 \ m/s$ verso un’altra palla da biliardo gialla di massa $m_2 = 1,4 \ kg$ . Dopo l’urto la palla da biliardo bianca si muove con velocità finale $v_{1,f}$

Calcola la velocità $v_{2,f}$ della palla da biliardo gialla dopo l’urto

[ $v_{2,f} = 2,1 \ m/s$ ]

15

Sul piano inclinato, il lavoro delle forze non conservative e l’energia meccanica

Una cassa di massa $m$ inizialmente ferma si trova su di un piano inclinato di un angolo $\theta = 30^\circ$ ad un’altezza $h = 1,5 \ m$ . Il piano inclinato, lungo $L = 2,0 \ m$ , ha un coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_1 = 0,4$ fino alla prima metà del tragitto e $\mu_2$ nella seconda metà, come mostrato in figura. Se il corpo raggiunge la base del piano inclinato con velocità $v_f = 3,4 \ m/s$

Calcola il coefficiente di attrito dinamico $\mu_2$ nella seconda metà del tragitto

[ $\mu_2 = 0,65$ ]

16

Sul piano inclinato, la carrucola e la conservazione dell’energia meccanica

Due casse di massa $m_1 = 1,5 \ kg$ ed $m_2 = 1,0 \ kg$ sono collegate da una fune ideale come mostrato in figura. La cassa di massa $m_2$ si trova su di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ con coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano pari a $\mu_d = 0,3$ . Il sistema, inizialmente fermo, viene lasciato libero di muoversi e la cassa di massa $m_1$ scende di un tratto $\Delta h = 1,0 \ m$ .

Calcola la velocità del sistema formato dalle due casse dopo che la cassa di massa $m_1$ scende di $\Delta h$

[ $v = 3,7 \ m/s$ ]

17

Sul pendolo ed il principio di conservazione dell’energia

Il pendolo mostrato in figura è formato da una fune ideale di lunghezza $L = 1,2 \ m$ attaccata ad un peso di massa $m = 4,5 \ kg$ ed è libero di oscillare intorno all’estremità incernierata ed indicata in figura dal punto $P$ . Nel punto più in basso l’energia cinetica del peso è $K_i = 93 \ J$

Calcola la tensione della fune $T$ quando il pendolo si trova in posizione orizzontale

[ $T = 67 \ N$ ]

18

Sul lavoro della forza d’attrito

Una cassa di massa $m = 5,4 \ kg$ viene lanciata su un piano orizzontale scabro e lungo $L = 0,9 \ m$ con velocità iniziale $v_i = 9,4 \ m/s$ . Alla fine del piano orizzontale la cassa sale lungo un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ anch’esso scabro. Sia il piano orizzontale che il piano inclinato hanno un coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_d = 0,2$ .

Calcola il tempo $t$ necessario affinché la cassa si fermi

[ $t = 1,5 \ s$ ]

19

Sulla pulsazione di una molla, l’energia meccanica ed il lavoro di una forza non conservativa

Una cassa di massa $m$ poggia su di un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito dinamico tra il piano e la cassa pari a $\mu_d = 0,2$ . La cassa è collegata ad una molla di costante elastica $k$ , come mostrato in figura, inizialmente compressa di $\Delta x = 0,3 \ m$ rispetto alla posizione di equilibrio. Se la cassa, inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi, raggiunge la posizione di equilibrio con velocità $v = 1,3 \ m/s$

Calcola la pulsazione $\omega$

[ $\omega = 5,6 \ rad/s$ ]

20

Un semplice problema sulla conservazione dell’energia per un corpo lungo una guida

Consideriamo il problema mostrato in figura, in cui un corpo di massa $M = 3,5 \ kg$ , poggiato su di una guida ferma e priva di attrito, viene lanciato con velocità $v_0 = 6,2 \ m/s$ da un punto ad altezza $h = 3,0 \ m$ rispetto al suolo.

la guida

Calcola la velocità $v_A$ nel punto $A$

[ $v_A = 9,9 \ m/s$ ]

21

Un problema sulla molla e la conservazione dell’energia senza calcoli – 1

Consideriamo un corpo di massa $M$ che si muove con velocità $v_0$ costante verso un respingente privo di massa, come mostrato in figura.

respingente

Calcola la lunghezza minima raggiunta dalla molla del respingente

[ $L_{min} = L_0 - v_0\sqrt{\displaystyle \frac{M}{k}}$ ]

22

Un problema sulla molla e la conservazione dell’energia senza calcoli – 2

Consideriamo il problema precedente assumendo che il piano su cui poggia il corpo di massa $M$ sia scabro, ovvero è presente una forza di attrito. Assumiamo che il corpo sia inizialmente distante $d$ dal respingente e che si muova con velocità iniziale $v_0$ , come mostrato in figura.

respingente con attrito

Calcola la lunghezza minima raggiunta dalla molla del respingente

23

Sulla conservazione dell’energia ed il giro della morte

Una pallina di massa $m$ inizialmente ferma scivola da un’altezza $h$ lungo una guida priva di attrito, al termine della quale è presente un “giro della morte”, come mostrato figura. La parte circolare della guida ha raggio $R = 0,5 \ m$

[Suggerimento: La pallina rimane sempre all’interno della guida nella sezione circolare!]

Calcola l’altezza $h$ minima da cui deve partire la pallina per arrivare nel punto $P$ senza staccarsi dalla guida

[ $h_{min} = 1,3 \ m$ ]

24

Sul teorema dell’energia cinetica (o teorema delle forze vive)

Una cassa di massa $m = 15 \ kg$ viene lanciata ad una velocità iniziale $v_i = 10 \ m/s$ lungo un piano orizzontale. Tra la cassa ed il piano orizzontale è presente attrito,

esercizio su energia cinetica

Calcola il lavoro fatto dalla forza di attrito per fermare la cassa

[ $\mathcal{L} = - 7,5 \cdot 10^2 \ J$ ]

25

Sull’energia cinetica di una sfera in rotazione

Una sfera omogenea di massa $m = 4,3 \ kg$ e raggio $R = 0,9 \ m$ rotola senza strisciare su di un piano orizzontale. Se la velocità del centro di massa è $v = 0,3 \ m/s$ e la velocità angolare è $\omega = 2,5 \ rad/s$

Calcola l’energia cinetica della sfera

[ $K = 4,5 \ J$ ]

26

Sul principio di conservazione dell’energia per un sistema rigido

Un disco omogeneo di raggio $R = 0,1 \ m$ e massa $m = 2,1 \ kg$ è inizialmente fermo su di un piano inclinato ad un’altezza $h = 0,5 \ m$ dal suolo, come mostrato in figura

Calcola la velocità del centro del disco quando questo è arrivato al livello del suolo

[Suggerimento: Assumi che il disco rotoli senza strisciare, ovvero siamo in presenza di un rotolamento puro!]

[ $v = 2,6 \ m/s$ ]

27

Sulla molla ed il giro della morte

Una pallina di massa $m = 0,7 \ kg$ inizialmente ferma viene lanciata da una molla di costante elastica $k = 2,1 \cdot 10^2 \ N/m$ lungo una pista priva di attrito che presenta un tratto circolare (un “giro della morte”) di raggio $R = 1,4 \ m$ come mostrato in figura

Calcola la compressione della molla $\Delta x$ necessaria per far compiere un intero giro della morte alla pallina senza staccarsi dalla pista

[ $\Delta x = 0,48 \ m$ ]

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